Salut,
Pour résumer : quand tu appuies sur le bouton de démarreur, tu entends un relais se coller (et rester coller, pas de "clic-clic-clic" très rapide), c'est forcément le relais de démarreur ; de plus celui-ci est neuf, donc on peut supposer que quand il est collé il fait bien le contact.
Si tu envoies du jus directement dans le démarreur, il tourne, donc il marche.
Donc seule cause possible à mon avis : le câble qui relie le relais au démarreur, ou celui qui relie le relais au + de la batterie. A vérifier en particulier la connexion de chaque côté de ces câbles qui peut s'oxyder.
A+